Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{6} [4 y - (y^{2} - 12)] d y$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 2}^{6} 4 y - (y^{2} - 12) d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{6} 4 y d y + \int_{- 2}^{6} - (y^{2} - 12) d y$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{- 2}^{6} y d y + \int_{- 2}^{6} - (y^{2} - 12) d y$

Этап 4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - (y^{2} - 12) d y$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - (y^{2} - 12) d y$

Этап 6

Умножим $- (y^{2} - 12)$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - y^{2} - - 12 d y$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - y^{2} + 12 d y$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - y^{2} d y + \int_{- 2}^{6} 12 d y$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) - \int_{- 2}^{6} y^{2} d y + \int_{- 2}^{6} 12 d y$

Этап 10

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} 12 d y$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} 12 d y$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{6}) + 12 y]_{- 2}^{6}$

Этап 13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $\frac{y^{2}}{2}$ в $6$ и в $- 2$ .

$4 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{6}) + 12 y]_{- 2}^{6}$

Этап 13.2

Найдем значение $\frac{y^{3}}{3}$ в $6$ и в $- 2$ .

$4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 12 y]_{- 2}^{6}$

Этап 13.3

Найдем значение $12 y$ в $6$ и в $- 2$ .

$4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$4 (\frac{36}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.2

Сократим общий множитель $36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$4 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{18}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.2.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$4 (18 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$4 (18 - \frac{4}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$4 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (18 - \frac{2}{1}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$4 (18 - 1 \cdot 2) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 (18 - 2) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.6

Вычтем $2$ из $18$ .

$4 \cdot 16 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.7

Умножим $4$ на $16$ .

$64 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.8

Возведем $6$ в степень $3$ .

$64 - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.9

Сократим общий множитель $216$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.9.1

Вынесем множитель $3$ из $216$ .

$64 - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$64 - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$64 - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$64 - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.9.2.4

Разделим $72$ на $1$ .

$64 - (72 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.10

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$64 - (72 - \frac{- 8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$64 - (72 - - \frac{8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.12

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$64 - (72 + 1 (\frac{8}{3})) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.13

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$64 - (72 + \frac{8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.14

Чтобы записать $72$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$64 - (72 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.15

Объединим $72$ и $\frac{3}{3}$ .

$64 - (\frac{72 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$64 - \frac{72 \cdot 3 + 8}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.17.1

Умножим $72$ на $3$ .

$64 - \frac{216 + 8}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.17.2

Добавим $216$ и $8$ .

$64 - \frac{224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.18

Чтобы записать $64$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$64 \cdot \frac{3}{3} - \frac{224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.19

Объединим $64$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{3} - \frac{224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{64 \cdot 3 - 224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.21

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.21.1

Умножим $64$ на $3$ .

$\frac{192 - 224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.21.2

Вычтем $224$ из $192$ .

$\frac{- 32}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{32}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.23

Умножим $12$ на $6$ .

$- \frac{32}{3} + 72 - 12 \cdot - 2$

Этап 13.4.24

Умножим $- 12$ на $- 2$ .

$- \frac{32}{3} + 72 + 24$

Этап 13.4.25

Добавим $72$ и $24$ .

$- \frac{32}{3} + 96$

Этап 13.4.26

Чтобы записать $96$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32}{3} + 96 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 13.4.27

Объединим $96$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32}{3} + \frac{96 \cdot 3}{3}$

Этап 13.4.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 32 + 96 \cdot 3}{3}$

Этап 13.4.29

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.29.1

Умножим $96$ на $3$ .

$\frac{- 32 + 288}{3}$

Этап 13.4.29.2

Добавим $- 32$ и $288$ .

$\frac{256}{3}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{256}{3}$

Десятичная форма:

$85.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$85 \frac{1}{3}$

Этап 15