Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3} (\frac{3}{4} y - \frac{1}{4} y^{2}) d y$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{3} \frac{3}{4} y - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3} \frac{3}{4} y d y + \int_{0}^{3} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Этап 3

Поскольку $\frac{3}{4}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{3}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{4} \int_{0}^{3} y d y + \int_{0}^{3} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Этап 4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{3}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Этап 5

Поскольку $- \frac{1}{4}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- \frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{3} - \frac{1}{4} \int_{0}^{3} y^{2} d y$

Этап 6

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{3}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{3} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{3}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{1}{2} y^{2}$ в $3$ и в $0$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{1}{2} \cdot 3^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{3}$

Этап 7.2

Найдем значение $\frac{1}{3} y^{3}$ в $3$ и в $0$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 7.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $9$ .

$\frac{3}{4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 7.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3}{4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 7.3.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{3}{4} (\frac{9}{2} + 0 (\frac{1}{2})) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 7.3.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{9}{2} + 0) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 7.3.6

Добавим $\frac{9}{2}$ и $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{9}{2} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 7.3.7

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{9}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 2} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 7.3.8

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{27}{4 \cdot 2} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 7.3.9

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 7.3.10

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 7.3.11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $27$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 7.3.12

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.12.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 7.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 7.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 7.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 7.3.12.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (9 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 7.3.13

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (9 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Этап 7.3.14

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (9 + 0 (\frac{1}{3}))$

Этап 7.3.15

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (9 + 0)$

Этап 7.3.16

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} \cdot 9$

Этап 7.3.17

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{27}{8} - 9 (\frac{1}{4})$

Этап 7.3.18

Объединим $- 9$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{27}{8} + \frac{- 9}{4}$

Этап 7.3.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{27}{8} - \frac{9}{4}$

Этап 7.3.20

Чтобы записать $- \frac{9}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{8} - \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.3.21

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.21.1

Умножим $\frac{9}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Этап 7.3.21.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{27}{8} - \frac{9 \cdot 2}{8}$

Этап 7.3.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{27 - 9 \cdot 2}{8}$

Этап 7.3.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.23.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{27 - 18}{8}$

Этап 7.3.23.2

Вычтем $18$ из $27$ .

$\frac{9}{8}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{9}{8}$

Десятичная форма:

$1.125$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{1}{8}$

Этап 9