Математический анализ Примеры

$4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Этап 1

Запишем $4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ в виде функции.

$f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 4 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

Этап 4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

Этап 5

Пусть $u_{2} = \sec (3 x)$ . Тогда $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{2} = \sec (3 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 5.1.2.2

Производная $\sec (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 5.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Этап 5.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Этап 5.1.3.3.2

Перенесем $3$ влево от $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$4 \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ в виде $4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$ .

$4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$

Этап 7.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} u_{2} + C$

Этап 7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sec (3 x)$ .

$\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$