Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - e^{x}}{e^{- x} + 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{- x} + 1}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{- x} + 1}$

Этап 3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{- x} + 1}$

Этап 4

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{- x} + 1}$

Этап 5

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} e^{- x} + 1}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} e^{- x} + lim_{x \to 0} 1}$

Этап 7

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} x}}{e^{lim_{x \to 0} - x} + lim_{x \to 0} 1}$

Этап 8

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} x}}{e^{- lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 1}$

Этап 9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} x}}{e^{- lim_{x \to 0} x} + 1}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} - e^{lim_{x \to 0} x}}{e^{- lim_{x \to 0} x} + 1}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} - e^{0}}{e^{- lim_{x \to 0} x} + 1}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{0} - e^{0}}{e^{0} + 1}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - e^{0}}{e^{0} + 1}$

Этап 11.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{e^{0} + 1}$

Этап 11.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{e^{0} + 1}$

Этап 11.1.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{e^{0} + 1}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{1 + 1}$

Этап 11.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{0}{2}$

Этап 11.3

Разделим $0$ на $2$ .

$0$