Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 0}^{6} (\frac{3}{2}) \cdot k^{2}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $k^{2}$ .

$\frac{3 k^{2}}{2}$

Этап 1.2

Переделаем суммирование.

$\sum_{k = 0}^{6} \frac{3 k^{2}}{2}$

Этап 2

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $k$ было равно $1$ .

$\sum_{k = 0}^{6} \frac{3 k^{2}}{2} = \sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k^{2}}{2} + \sum_{k = 0}^{0} \frac{3 k^{2}}{2}$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $\frac{3}{2}$ за символ суммирования.

$(\frac{3}{2}) \sum_{k = 1}^{6} k^{2}$

Этап 3.2

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 3.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(\frac{3}{2}) (\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6})$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Добавим $6$ и $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{6 \cdot 7 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Этап 3.4.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Умножим $6$ на $7$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{42 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Этап 3.4.1.2.2

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{42 (12 + 1)}{6}$

Этап 3.4.1.3

Добавим $12$ и $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{42 \cdot 13}{6}$

Этап 3.4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $42$ на $13$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{546}{6}$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{546}{3 (2)}$

Этап 3.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{546}{3 \cdot 2}$

Этап 3.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{546}{2}$

Этап 3.4.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $546$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (273)}{2}$

Этап 3.4.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 273}{2}$

Этап 3.4.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{273}{2}$

Этап 4

Найдем значение $\sum_{k = 0}^{0} \frac{3 k^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2}}{2}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{2}$

Этап 4.2.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{2}$

Этап 4.2.3

Разделим $0$ на $2$ .

$0$

Этап 5

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$\frac{273}{2} + 0$

Этап 6

Добавим $\frac{273}{2}$ и $0$ .

$\frac{273}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{273}{2}$

Десятичная форма:

$136.5$

Форма смешанных чисел:

$136 \frac{1}{2}$