Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (x + \sqrt{x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{1} x + \sqrt{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$ и $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2.4

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2.5

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2.6

Чтобы записать $\frac{2}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.7.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2.7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3}{6} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2.7.3

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2.7.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 + 2 \cdot 2}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.9.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 + 4}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2.9.2

Добавим $3$ и $4$ .

$\frac{7}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{7}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2.11

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2.12

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2.13

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 6.2.2.14

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.14.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 6.2.2.14.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 6.2.2.15

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

Этап 6.2.2.16

Умножим $\frac{2}{3}$ на $0$ .

$\frac{7}{6} - (0 + 0)$

Этап 6.2.2.17

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{7}{6} - 0$

Этап 6.2.2.18

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{7}{6} + 0$

Этап 6.2.2.19

Добавим $\frac{7}{6}$ и $0$ .

$\frac{7}{6}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{7}{6}$

Десятичная форма:

$1.1\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{1}{6}$

Этап 8