Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Этап 1

Этот интеграл не удалось вычислить с помощью замены переменной. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\int_{0}^{2} \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}]_{0}^{2}$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}$ в $2$ и в $0$ .

$(\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2}) - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2}$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 (0)}{2})}{2}$

Этап 4.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

Этап 4.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

Этап 4.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{2}$

Этап 4.2.2.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (0)}{2}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\arctan (1) - \arctan (0)}{2}$

Этап 4.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\frac{π}{4} - \arctan (0)}{2}$

Этап 4.3.2.2

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$\frac{\frac{π}{4} - 0}{2}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{\frac{π}{4} + 0}{2}$

Этап 4.3.3

Добавим $\frac{π}{4}$ и $0$ .

$\frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 4.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.3.5

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{4 \cdot 2}$

Этап 4.3.5.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{π}{8}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{8}$

Десятичная форма:

$0.39269908 \dots$

Этап 6