Математический анализ Примеры

$\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$

Этап 1

Изменим порядок $e^{- θ}$ и $\cos (2 θ)$ .

$\int \cos (2 θ) e^{- θ} d θ$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \cos (2 θ)$ и $d v = e^{- θ}$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (- 2 \sin (2 θ)) d θ$

Этап 3

Поскольку $- - 2$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $- - 2$ из-под знака интеграла.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (- - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{- θ}$ и $\sin (2 θ)$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int \sin (2 θ) e^{- θ} d θ$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sin (2 θ)$ и $d v = e^{- θ}$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (2 \cos (2 θ)) d θ)$

Этап 6

Поскольку $- 1 \cdot 2$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $- 1 \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

Этап 7

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

Этап 7.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Этап 7.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Этап 7.4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ$

Этап 8

Найдя решение для $\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ , получим $\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ = $\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5}$ .

$\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5} + C$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ в виде $\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ .

$\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $e^{- θ}$ из $- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Вынесем множитель $e^{- θ}$ из $- \cos (2 θ) e^{- θ}$ .

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

Этап 9.2.1.2

Вынесем множитель $e^{- θ}$ из $2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ .

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Этап 9.2.1.3

Вынесем множитель $e^{- θ}$ из $e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))$ .

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos (2 θ)$ .

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $2 \sin (2 θ)$ .

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Этап 9.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ))$ .

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Этап 9.2.5

Перепишем $- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ в виде $- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ .

$\frac{e^{- θ} (- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Этап 9.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{5} e^{- θ} (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)) + C$