Математический анализ Примеры

$y = \frac{4 x^{5} + x^{2} + 4}{5 x^{2} - 2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 4 x^{5} + x^{2} + 4$ и $g (x) = 5 x^{2} - 2$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{5} + x^{2} + 4] - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{5} + x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{5}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x + 0) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.7

Добавим $20 x^{4} + 2 x$ и $0$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $5 x^{2} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.9

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.11

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (10 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.12

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (10 x + 0)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Добавим $10 x$ и $0$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (10 x)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.13.2

Умножим $10$ на $- 1$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5} + x^{2} + 4) x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) + (- 10 (4 x^{5}) - 10 x^{2} - 10 \cdot 4) x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Развернем $(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{2} (20 x^{4} + 2 x) - 2 (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{2} (20 x^{4}) + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{2} (20 x^{4}) + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{5 \cdot 20 x^{2} x^{4} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.2.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{5 \cdot 20 (x^{4} x^{2}) + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 \cdot 20 x^{4 + 2} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2.3

Добавим $4$ и $2$ .

$\frac{5 \cdot 20 x^{6} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.3

Умножим $5$ на $20$ .

$\frac{100 x^{6} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 x^{2} x - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 x^{1 + 2} - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 x^{3} - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.6

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.7

Умножим $20$ на $- 2$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.8

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $x^{5}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 (x \cdot x^{5})) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 (x^{1} x^{5})) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 x^{1 + 5}) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.3

Добавим $1$ и $5$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 x^{6}) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4

Умножим $4$ на $- 10$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 (x \cdot x^{2}) - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 (x^{1} x^{2}) - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{1 + 2} - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{3} - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.6

Умножим $- 10$ на $4$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{3} - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Объединим противоположные члены в $100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{3} - 40 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $10 x^{3}$ из $10 x^{3}$ .

$\frac{100 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} + 0 - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Добавим $100 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6}$ и $0$ .

$\frac{100 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вычтем $40 x^{6}$ из $100 x^{6}$ .

$\frac{60 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Вычтем $40 x$ из $- 4 x$ .

$\frac{60 x^{6} - 40 x^{4} - 44 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $4 x$ из $60 x^{6} - 40 x^{4} - 44 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $4 x$ из $60 x^{6}$ .

$\frac{4 x (15 x^{5}) - 40 x^{4} - 44 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 40 x^{4}$ .

$\frac{4 x (15 x^{5}) + 4 x (- 10 x^{3}) - 44 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $4 x$ из $- 44 x$ .

$\frac{4 x (15 x^{5}) + 4 x (- 10 x^{3}) + 4 x (- 11)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.4

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (15 x^{5}) + 4 x (- 10 x^{3})$ .

$\frac{4 x (15 x^{5} - 10 x^{3}) + 4 x (- 11)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.5

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (15 x^{5} - 10 x^{3}) + 4 x (- 11)$ .

$\frac{4 x (15 x^{5} - 10 x^{3} - 11)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$