Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{(x^{2} + 49) (4 x^{2} - 49)}$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $(x^{2} + 49) (4 x^{2} - 49)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{x^{2} (4 x^{2} - 49) + 49 (4 x^{2} - 49)}$

Этап 1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} \cdot - 49 + 49 (4 x^{2} - 49)}$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} \cdot - 49 + 49 (4 x^{2}) + 49 \cdot - 49}$

Этап 1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 49 + 49 (4 x^{2}) + 49 \cdot - 49}$

Этап 1.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 49 + 49 (4 x^{2}) + 49 \cdot - 49}$

Этап 1.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 49 + 49 (4 x^{2}) + 49 \cdot - 49}$

Этап 1.2.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{4} + x^{2} \cdot - 49 + 49 (4 x^{2}) + 49 \cdot - 49}$

Этап 1.2.1.3

Перенесем $- 49$ влево от $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{4} - 49 \cdot x^{2} + 49 (4 x^{2}) + 49 \cdot - 49}$

Этап 1.2.1.4

Умножим $4$ на $49$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{4} - 49 x^{2} + 196 x^{2} + 49 \cdot - 49}$

Этап 1.2.1.5

Умножим $49$ на $- 49$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{4} - 49 x^{2} + 196 x^{2} - 2401}$

Этап 1.2.2

Добавим $- 49 x^{2}$ и $196 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{4} + 147 x^{2} - 2401}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 49}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{147 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 49}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{147 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Этап 3.1.1.2

Разделим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{- 49}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{147 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Этап 3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{147 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{147 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{4 + \frac{147 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $147 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot 147}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot 147}{x^{2} x^{2}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Этап 3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot 147}{x^{2} x^{2}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Этап 3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{4 + \frac{147}{x^{2}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Этап 3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{4 + \frac{147}{x^{2}} - \frac{2401}{x^{4}}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{49}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{147}{x^{2}} - \frac{2401}{x^{4}}}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{49}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{147}{x^{2}} - \frac{2401}{x^{4}}}$

Этап 3.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to \infty} \frac{49}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{147}{x^{2}} - \frac{2401}{x^{4}}}$

Этап 3.6

Вынесем член $49$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 - 49 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{147}{x^{2}} - \frac{2401}{x^{4}}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{4}}$ стремится к $0$ .

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{147}{x^{2}} - \frac{2401}{x^{4}}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{147}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{2401}{x^{4}}}$

Этап 5.2

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{147}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{2401}{x^{4}}}$

Этап 5.3

Вынесем член $147$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{4 + 147 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{2401}{x^{4}}}$

Этап 6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{4 + 147 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{2401}{x^{4}}}$

Этап 7

Вынесем член $2401$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{4 + 147 \cdot 0 - 2401 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}$

Этап 8

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{4 + 147 \cdot 0 - 2401 \cdot 0}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $- 49$ на $0$ .

$\frac{4 + 0}{4 + 147 \cdot 0 - 2401 \cdot 0}$

Этап 9.1.2

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{4}{4 + 147 \cdot 0 - 2401 \cdot 0}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $147$ на $0$ .

$\frac{4}{4 + 0 - 2401 \cdot 0}$

Этап 9.2.2

Умножим $- 2401$ на $0$ .

$\frac{4}{4 + 0 + 0}$

Этап 9.2.3

Добавим $4 + 0$ и $0$ .

$\frac{4}{4 + 0}$

Этап 9.2.4

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{4}{4}$

Этап 9.3

Разделим $4$ на $4$ .

$1$