Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \tan (- 2 x) - \sin (2 x)$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{6}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \tan (- 2 x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (2 x)$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\tan (lim_{x \to \frac{π}{6}} - 2 x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (2 x)$

Этап 3

Вынесем член $- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\tan (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (2 x)$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\tan (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 x)$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\tan (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{6}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{6}$ для $x$ .

$\tan (- 2 \frac{π}{6}) - \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{6}$ для $x$ .

$\tan (- 2 \frac{π}{6}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\tan (2 (- 1) \frac{π}{6}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Этап 7.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\tan (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Этап 7.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\tan (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Этап 7.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\tan (- \frac{π}{3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Этап 7.1.2

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\tan (\frac{5 π}{3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Этап 7.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный в четвертом квадранте.

$- \tan (\frac{π}{3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Этап 7.1.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3} - \sin (2 \frac{π}{6})$

Этап 7.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \sqrt{3} - \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Этап 7.1.5.2

Сократим общий множитель.

$- \sqrt{3} - \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Этап 7.1.5.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

Этап 7.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 7.2

Чтобы записать $- \sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 7.3

Объединим $- \sqrt{3}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.5.2

Вычтем $\sqrt{3}$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Десятичная форма:

$- 2.59807621 \dots$