Математический анализ Примеры

$\int \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 + 7 x$ . Тогда $d u = 7 d x$ , следовательно $\frac{1}{7} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + 7 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + 7 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $7$ на $1$ .

$0 + 7$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $7$ .

$7$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

Этап 2

Объединим $\sqrt[3]{u}$ и $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7} \int \sqrt[3]{u} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{1}{7} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ в виде $\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{7 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 6.2.2

Умножим $7$ на $4$ .

$\frac{3}{28} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $1 + 7 x$ .

$\frac{3}{28} {(1 + 7 x)}^{\frac{4}{3}} + C$