Математический анализ Примеры

$\int \frac{- 4 x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Этап 1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{4 x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{4 x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- (4 \int \frac{x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x)$

Этап 4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 \int \frac{x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Этап 5

Пусть $u = 1 - 2 x^{2}$ . Тогда $d u = - 4 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{4} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 1 - 2 x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 5.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$0 - 4 x$

Этап 5.1.4

Вычтем $4 x$ из $0$ .

$- 4 x$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- 4 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 4 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{4}) d u$

Этап 6.2

Умножим $\frac{1}{u^{2}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- 4 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 4} d u$

Этап 6.3

Перенесем $4$ влево от $u^{2}$ .

$- 4 \int - \frac{1}{4 u^{2}} d u$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- 4 (- \int \frac{1}{4 u^{2}} d u)$

Этап 8

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$4 \int \frac{1}{4 u^{2}} d u$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $4$ .

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 10.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 10.1.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 10.1.3

Умножим $\int \frac{1}{u^{2}} d u$ на $1$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 10.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 10.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 10.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Этап 12

Перепишем $- u^{- 1} + C$ в виде $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{1 - 2 x^{2}} + C$