Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{3 y^{2}}$ , $y (2) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{3 y^{2}}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Этап 1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Этап 1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{3}$

Этап 1.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{3}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y^{2} d y = - \frac{2 x}{3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int - \frac{2 x}{3} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{2 x}{3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{2 x}{3} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{2}{3} \int x d x)$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $- \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{3} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{3}) + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{3}$ в числитель.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{2}}{3} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{2}}{3} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y^{3} = - x^{2} + 3 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 3 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $2$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$ .

$1 = \sqrt[3]{- 2^{2} + K}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{- 2^{2} + K} = 1$ .

$\sqrt[3]{- 2^{2} + K} = 1$

Этап 6.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{- 2^{2} + K}}^{3} = 1^{3}$

Этап 6.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{- 2^{2} + K}$ в виде ${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим ${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Этап 6.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Этап 6.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- 2^{2} + K)}^{1} = 1^{3}$

Этап 6.3.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

${(- 1 \cdot 4 + K)}^{1} = 1^{3}$

Этап 6.3.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

${(- 4 + K)}^{1} = 1^{3}$

Этап 6.3.2.1.3

Упростим.

$- 4 + K = 1^{3}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 4 + K = 1$

Этап 6.4

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$K = 1 + 4$

Этап 6.4.2

Добавим $1$ и $4$ .

$K = 5$

Этап 7

Подставим $5$ вместо $K$ в $y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $5$ вместо $K$ .

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 5}$