Математический анализ Примеры

$\int {(x - 3)}^{2} + 3 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int {(x - 3)}^{2} d x + \int 3 d x$

Этап 2

Пусть $u = x - 3$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{2} d u + \int 3 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int 3 d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} u^{3} + C + 3 x + C$

Этап 5

Упростим.

$\frac{1}{3} u^{3} + 3 x + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$\frac{1}{3} {(x - 3)}^{3} + 3 x + C$