Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} - e^{2}}{h}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} e^{2 + h} - e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} e^{2 + h} - lim_{h \to 0} e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{h \to 0} 2 + h} - lim_{h \to 0} e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{e^{lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{e^{2 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $e^{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{e^{2 + lim_{h \to 0} h} - e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{e^{2 + 0} - e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{e^{2} - e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $e^{2}$ из $e^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} - e^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{2 + h} - e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{2 + h} - e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $e^{2 + h} - e^{2}$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [e^{2 + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{2 + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d h} [e^{2 + h}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = e^{h}$ и $g (h) = 2 + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.2

По правилу суммы производная $2 + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $h$ , производная $2$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.5

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.6

Умножим $e^{2 + h}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- e^{2}$ является константой относительно $h$ , производная $- e^{2}$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5

Добавим $e^{2 + h}$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h}}{1}$

Этап 1.4

Разделим $e^{2 + h}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} e^{2 + h}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{h \to 0} 2 + h}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$e^{lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$e^{2 + lim_{h \to 0} h}$

Этап 3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$e^{2 + 0}$

Этап 4

Добавим $2$ и $0$ .

$e^{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e^{2}$

Десятичная форма:

$7.38905609 \dots$