Математический анализ Примеры

$y = \ln (\sec (x))$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\sec (x)))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3.4

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3.5

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\cos (x) (\sec (x) \tan (x))$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\sec (x)$ .

$\sec (x) \cos (x) \tan (x)$

Этап 3.6.1.2

Выразим $\cos (x) \sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x)$

Этап 3.6.1.3

Сократим общие множители.

$1 \tan (x)$

Этап 3.6.2

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x)$

Этап 3.6.3

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.6.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\tan (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \tan (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \tan (x)$