Математический анализ Примеры

$6 \sqrt{\frac{1}{x} + 8 x^{4}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{1}{x} + 8 x^{4}}$ в виде ${(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \frac{1}{x} + 8 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1}{x} + 8 x^{4}$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{x} + 8 x^{4}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 (\frac{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Этап 9

Перенесем ${(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 (\frac{1}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ и $6$ .

$\frac{6}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

Этап 11

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

Этап 12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

Этап 12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

Этап 12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

Этап 13

По правилу суммы производная $\frac{1}{x} + 8 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}]$ .

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}])$

Этап 14

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}])$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [8 x^{4}])$

Этап 16

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{4}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + 8 (4 x^{3}))$

Этап 18

Умножим $4$ на $8$ .

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + 32 x^{3})$

Этап 19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3})$

Этап 19.2

Изменим порядок множителей в $\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3})$ .

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1

Чтобы записать $8 x^{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1}{x} + \frac{8 x^{4} x}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 x^{4} x}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.3.3

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.3.1

Перенесем $x$ .

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 (x \cdot x^{4})}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.3.3.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 (x^{1} x^{4})}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 x^{1 + 4}}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.3.3.3

Добавим $1$ и $4$ .

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 x^{5}}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.3.4

Применим правило умножения к $\frac{1 + 8 x^{5}}{x}$ .

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{\frac{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 19.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) (3 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 19.5

Объединим $3$ и $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.6

Умножим $- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}$ на $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) (3 x^{\frac{1}{2}})}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.7.1

Чтобы записать $32 x^{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(- \frac{1}{x^{2}} + \frac{32 x^{3} x^{2}}{x^{2}}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- 1 + 32 x^{3} x^{2}}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.7.3

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.7.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- 1 + 32 (x^{2} x^{3})}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.7.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{- 1 + 32 x^{2 + 3}}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.7.3.3

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{\frac{- 1 + 32 x^{5}}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.7.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.7.4.1

Объединим $\frac{- 1 + 32 x^{5}}{x^{2}}$ и $3$ .

$\frac{\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3}{x^{2}} x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.7.4.2

Объединим $\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3}{x^{2}}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.7.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.7.5.1

Сократим выражение $\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.7.5.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{2} ((- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}})}{x^{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.7.5.1.2

Умножим на $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} ((- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}})}{x^{2} \cdot 1}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.7.5.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{x^{2} ((- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}})}{x^{2} \cdot 1}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.7.5.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}}}{1}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.7.5.2

Разделим $(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}}$ на $1$ .

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{- \frac{3}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.7.7

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.7.8

Объединим $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ и $3$ .

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.8

Вынесем множитель $\frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}$ из $\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1 + 32 x^{5}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.9

Умножим $\frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}$ на $\frac{- 1 + 32 x^{5}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (- 1 + 32 x^{5})}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.10

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- 1 (1) + 32 x^{5})}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.11

Вынесем множитель $- 1$ из $32 x^{5}$ .

$\frac{3 (- 1 (1) - (- 32 x^{5}))}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- 32 x^{5})$ .

$\frac{3 (- 1 (1 - 32 x^{5}))}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 (1 - 32 x^{5})}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$