Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} + 2}{2 x - 1}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} + 2$ и $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.2

Перенесем $2$ влево от $2 x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.10.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.10.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.1.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.2

Вычтем $2 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 2 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 2 x - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - x) + 2 (- 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} - x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.2

Разложим $x^{2} - x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 1.1.3.5.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f' (x) = \frac{2 ((x - 2) (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 (x - 2) (x + 1) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.3.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.3.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x - 2) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 2, - 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 3.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 3.2.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 4

Вычислим $\frac{x^{2} + 2}{2 x - 1}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$\frac{{(2)}^{2} + 2}{2 (2) - 1}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4 + 2}{2 (2) - 1}$

Этап 4.1.2.1.2

Добавим $4$ и $2$ .

$\frac{6}{2 (2) - 1}$

Этап 4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{6}{4 - 1}$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{6}{3}$

Этап 4.1.2.3

Разделим $6$ на $3$ .

$2$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2}{2 (- 1) - 1}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1 + 2}{2 (- 1) - 1}$

Этап 4.2.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3}{2 (- 1) - 1}$

Этап 4.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3}{- 2 - 1}$

Этап 4.2.2.2.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$\frac{3}{- 3}$

Этап 4.2.2.3

Разделим $3$ на $- 3$ .

$- 1$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{1}{2}$ вместо $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Этап 4.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{1 - 1}$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{0}$

Этап 4.3.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(2, 2), (- 1, - 1)$

Этап 5