Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{\cos (2 x) - \sin (x)}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\cos (2 x) - \sin (x)}$ в виде ${(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \cos (2 x) - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (2 x) - \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (2 x) - \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Этап 7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Этап 7.2.2

Перенесем ${(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Этап 7.3

По правилу суммы производная $\cos (2 x) - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Этап 8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Этап 8.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Этап 8.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Этап 9

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Этап 9.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Этап 9.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Этап 9.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Этап 9.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 10

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) - \cos (x))$

Этап 11

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) - \cos (x))$ .

$(- 2 \sin (2 x) - \cos (x)) \frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$