Математический анализ Примеры

$y = - \frac{2}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- \frac{2}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- \frac{2}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2}{5} x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- \frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.2.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 (\frac{2}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.2.4

Объединим $- 5$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.2.5

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\frac{- 10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.2.6

Объединим $\frac{- 10}{5}$ и $x^{4}$ .

$\frac{- 10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.2.7

Сократим общий множитель $- 10$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Вынесем множитель $5$ из $- 10 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.2.7.2.4

Разделим $- 2 x^{4}$ на $1$ .

$- 2 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{2} x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{4} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 x^{4} - \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x^{4} - 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.3.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 x^{4} + \frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.3.5

Объединим $\frac{- 2}{2}$ и $x$ .

$- 2 x^{4} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.3.6

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$- 2 x^{4} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 2 x^{4} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 x^{4} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 x^{4} + \frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.3.6.2.4

Разделим $- x$ на $1$ .

$- 2 x^{4} - x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 2 x^{4} - x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- 2 x^{4} - x - \frac{1}{2} (- 2 x^{- 3})$

Этап 1.4.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 2 x^{4} - x + 2 (\frac{1}{2}) x^{- 3}$

Этап 1.4.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 x^{4} - x + \frac{2}{2} x^{- 3}$

Этап 1.4.5

Объединим $\frac{2}{2}$ и $x^{- 3}$ .

$- 2 x^{4} - x + \frac{2 x^{- 3}}{2}$

Этап 1.4.6

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x^{4} - x + \frac{2}{2 x^{3}}$

Этап 1.4.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.1

Сократим общий множитель.

$- 2 x^{4} - x + \frac{2}{2 x^{3}}$

Этап 1.4.7.2

Перепишем это выражение.

$f' (x) = - 2 x^{4} - x + \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 2 x^{4} - x + \frac{1}{x^{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{4}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 x^{3} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 x^{3} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 8 x^{3} - 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 8 x^{3} - 1 + \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$- 8 x^{3} - 1 + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- 8 x^{3} - 1 - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$- 8 x^{3} - 1 - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 8 x^{3} - 1 - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

Этап 2.4.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 x^{3} - 1 - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

Этап 2.4.4.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- 8 x^{3} - 1 - x^{- 6} (3 x^{2})$

Этап 2.4.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 8 x^{3} - 1 - 3 x^{- 6} x^{2}$

Этап 2.4.6

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 8 x^{3} - 1 - 3 (x^{2} x^{- 6})$

Этап 2.4.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 8 x^{3} - 1 - 3 x^{2 - 6}$

Этап 2.4.6.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$- 8 x^{3} - 1 - 3 x^{- 4}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 x^{3} - 1 - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 2.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- 8 x^{3} - 1 + \frac{- 3}{x^{4}}$

Этап 2.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 8 x^{3} - 1 - \frac{3}{x^{4}}$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - 8 x^{3} - \frac{3}{x^{4}} - 1$