Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{4} {(x - 3)}^{2} + 3 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{4} {(x - 3)}^{2} d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Этап 2

Пусть $u = x - 3$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Этап 2.3

Вычтем $3$ из $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 4 - 3$

Этап 2.5

Вычтем $3$ из $4$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 1$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 3}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{4} 3 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 3}^{1} + \int_{0}^{4} 3 d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 3}^{1} + 3 x]_{0}^{4}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{1}{3} u^{3}$ в $1$ и в $- 3$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + 3 x]_{0}^{4}$

Этап 5.2

Найдем значение $3 x$ в $4$ и в $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 5.3.3

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 27 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 5.3.4

Умножим $- 27$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} + 27 (\frac{1}{3}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 5.3.5

Объединим $27$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{27}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 5.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 5.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 5.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} + \frac{9}{1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 5.3.6.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$\frac{1}{3} + 9 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 5.3.7

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 5.3.8

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 5.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 9 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 5.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{1 + 27}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 5.3.10.2

Добавим $1$ и $27$ .

$\frac{28}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Этап 5.3.11

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{28}{3} + 12 - 3 \cdot 0$

Этап 5.3.12

Умножим $- 3$ на $0$ .

$\frac{28}{3} + 12 + 0$

Этап 5.3.13

Добавим $12$ и $0$ .

$\frac{28}{3} + 12$

Этап 5.3.14

Чтобы записать $12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.3.15

Объединим $12$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

Этап 5.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{28 + 12 \cdot 3}{3}$

Этап 5.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.17.1

Умножим $12$ на $3$ .

$\frac{28 + 36}{3}$

Этап 5.3.17.2

Добавим $28$ и $36$ .

$\frac{64}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{64}{3}$

Десятичная форма:

$21.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$21 \frac{1}{3}$

Этап 7