Математический анализ Примеры

$\int_{- 4}^{- 1} x^{2} (3 - 4 x) d x$

Этап 1

Умножим $x^{2} (3 - 4 x)$ .

$\int_{- 4}^{- 1} x^{2} \cdot 3 + x^{2} (- 4 x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$\int_{- 4}^{- 1} 3 \cdot x^{2} + x^{2} (- 4 x) d x$

Этап 2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x$ .

$\int_{- 4}^{- 1} 3 x^{2} + x \cdot x^{2} \cdot - 4 d x$

Этап 2.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{- 4}^{- 1} 3 x^{2} + x^{1} x^{2} \cdot - 4 d x$

Этап 2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{- 4}^{- 1} 3 x^{2} + x^{1 + 2} \cdot - 4 d x$

Этап 2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\int_{- 4}^{- 1} 3 x^{2} + x^{3} \cdot - 4 d x$

Этап 2.3

Перенесем $- 4$ влево от $x^{3}$ .

$\int_{- 4}^{- 1} 3 x^{2} - 4 x^{3} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 4}^{- 1} 3 x^{2} d x + \int_{- 4}^{- 1} - 4 x^{3} d x$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{- 4}^{- 1} x^{2} d x + \int_{- 4}^{- 1} - 4 x^{3} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{- 1}) + \int_{- 4}^{- 1} - 4 x^{3} d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{- 1}) + \int_{- 4}^{- 1} - 4 x^{3} d x$

Этап 7

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{- 1}) - 4 \int_{- 4}^{- 1} x^{3} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{- 1}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{- 1})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{- 1}) - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 4}^{- 1})$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $- 1$ и в $- 4$ .

$3 ((\frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 4}^{- 1})$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $- 1$ и в $- 4$ .

$3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Этап 9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$3 (\frac{- 1}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Этап 9.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (- \frac{1}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Этап 9.2.3.3

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$3 (- \frac{1}{3} - \frac{- 64}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Этап 9.2.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (- \frac{1}{3} - - \frac{64}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Этап 9.2.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 (- \frac{1}{3} + 1 (\frac{64}{3})) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Этап 9.2.3.6

Умножим $\frac{64}{3}$ на $1$ .

$3 (- \frac{1}{3} + \frac{64}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Этап 9.2.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{- 1 + 64}{3} - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Этап 9.2.3.8

Добавим $- 1$ и $64$ .

$3 (\frac{63}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Этап 9.2.3.9

Сократим общий множитель $63$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.9.1

Вынесем множитель $3$ из $63$ .

$3 \frac{3 \cdot 21}{3} - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Этап 9.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Этап 9.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Этап 9.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{21}{1}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Этап 9.2.3.9.2.4

Разделим $21$ на $1$ .

$3 \cdot 21 - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Этап 9.2.3.10

Умножим $3$ на $21$ .

$63 - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Этап 9.2.3.11

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$63 - 4 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Этап 9.2.3.12

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$63 - 4 (\frac{1}{4} - \frac{256}{4})$

Этап 9.2.3.13

Сократим общий множитель $256$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.13.1

Вынесем множитель $4$ из $256$ .

$63 - 4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 64}{4})$

Этап 9.2.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.13.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$63 - 4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 64}{4 (1)})$

Этап 9.2.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$63 - 4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1})$

Этап 9.2.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$63 - 4 (\frac{1}{4} - \frac{64}{1})$

Этап 9.2.3.13.2.4

Разделим $64$ на $1$ .

$63 - 4 (\frac{1}{4} - 1 \cdot 64)$

Этап 9.2.3.14

Умножим $- 1$ на $64$ .

$63 - 4 (\frac{1}{4} - 64)$

Этап 9.2.3.15

Чтобы записать $- 64$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$63 - 4 (\frac{1}{4} - 64 \cdot \frac{4}{4})$

Этап 9.2.3.16

Объединим $- 64$ и $\frac{4}{4}$ .

$63 - 4 (\frac{1}{4} + \frac{- 64 \cdot 4}{4})$

Этап 9.2.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$63 - 4 \frac{1 - 64 \cdot 4}{4}$

Этап 9.2.3.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.18.1

Умножим $- 64$ на $4$ .

$63 - 4 \frac{1 - 256}{4}$

Этап 9.2.3.18.2

Вычтем $256$ из $1$ .

$63 - 4 (\frac{- 255}{4})$

Этап 9.2.3.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$63 - 4 (- \frac{255}{4})$

Этап 9.2.3.20

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$63 + 4 (\frac{255}{4})$

Этап 9.2.3.21

Объединим $4$ и $\frac{255}{4}$ .

$63 + \frac{4 \cdot 255}{4}$

Этап 9.2.3.22

Умножим $4$ на $255$ .

$63 + \frac{1020}{4}$

Этап 9.2.3.23

Сократим общий множитель $1020$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.23.1

Вынесем множитель $4$ из $1020$ .

$63 + \frac{4 \cdot 255}{4}$

Этап 9.2.3.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.23.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$63 + \frac{4 \cdot 255}{4 (1)}$

Этап 9.2.3.23.2.2

Сократим общий множитель.

$63 + \frac{4 \cdot 255}{4 \cdot 1}$

Этап 9.2.3.23.2.3

Перепишем это выражение.

$63 + \frac{255}{1}$

Этап 9.2.3.23.2.4

Разделим $255$ на $1$ .

$63 + 255$

Этап 9.2.3.24

Добавим $63$ и $255$ .

$318$

Этап 10