Математический анализ Примеры

$y = 10 + 12 x - 3 x^{2} - 2 x^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $10 + 12 x - 3 x^{2} - 2 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 1.2.3

Умножим $12$ на $1$ .

$0 + 12 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 12 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 12 - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$0 + 12 - 6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 12 - 6 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 + 12 - 6 x - 2 (3 x^{2})$

Этап 1.4.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$0 + 12 - 6 x - 6 x^{2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $0$ и $12$ .

$12 - 6 x - 6 x^{2}$

Этап 1.5.2

Изменим порядок членов.

$- 6 x^{2} - 6 x + 12$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 6 x^{2} - 6 x + 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$f'' (x) = - 12 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.3.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f'' (x) = - 12 x - 6 + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 12 x - 6 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 12 x - 6$ и $0$ .

$f'' (x) = - 12 x - 6$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 6 x^{2} - 6 x + 12 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 4.1.1.2

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $12$ на $1$ .

$0 + 12 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 12 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 12 - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$0 + 12 - 6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 12 - 6 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 + 12 - 6 x - 2 (3 x^{2})$

Этап 4.1.4.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$0 + 12 - 6 x - 6 x^{2}$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Добавим $0$ и $12$ .

$12 - 6 x - 6 x^{2}$

Этап 4.1.5.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 6 x^{2} - 6 x + 12$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 6 x^{2} - 6 x + 12$ .

$- 6 x^{2} - 6 x + 12$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 6 x^{2} - 6 x + 12 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 6 x^{2} - 6 x + 12 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- 6$ из $- 6 x^{2} - 6 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $- 6$ из $- 6 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} - 6 x + 12 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $- 6$ из $- 6 x$ .

$- 6 x^{2} - 6 x + 12 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $- 6$ из $12$ .

$- 6 x^{2} - 6 x - 6 \cdot - 2 = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $- 6$ из $- 6 (x^{2}) - 6 (x)$ .

$- 6 (x^{2} + x) - 6 \cdot - 2 = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $- 6$ из $- 6 (x^{2} + x) - 6 (- 2)$ .

$- 6 (x^{2} + x - 2) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 5.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 6 (x - 1) (x + 2) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 6 (x - 1) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 1, - 2$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 1, - 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 \cdot 1 - 6$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 12$ на $1$ .

$- 12 - 6$

Этап 9.2

Вычтем $6$ из $- 12$ .

$- 18$

Этап 10

$x = 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 10 + 12 (1) - 3 {(1)}^{2} - 2 {(1)}^{3}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $12$ на $1$ .

$f (1) = 10 + 12 - 3 {(1)}^{2} - 2 {(1)}^{3}$

Этап 11.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 10 + 12 - 3 \cdot 1 - 2 {(1)}^{3}$

Этап 11.2.1.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (1) = 10 + 12 - 3 - 2 {(1)}^{3}$

Этап 11.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 10 + 12 - 3 - 2 \cdot 1$

Этап 11.2.1.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (1) = 10 + 12 - 3 - 2$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $10$ и $12$ .

$f (1) = 22 - 3 - 2$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $3$ из $22$ .

$f (1) = 19 - 2$

Этап 11.2.2.3

Вычтем $2$ из $19$ .

$f (1) = 17$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $17$ .

$y = 17$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 \cdot - 2 - 6$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $- 12$ на $- 2$ .

$24 - 6$

Этап 13.2

Вычтем $6$ из $24$ .

$18$

Этап 14

$x = - 2$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 10 + 12 (- 2) - 3 {(- 2)}^{2} - 2 {(- 2)}^{3}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Умножим $12$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 10 - 24 - 3 {(- 2)}^{2} - 2 {(- 2)}^{3}$

Этап 15.2.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 10 - 24 - 3 \cdot 4 - 2 {(- 2)}^{3}$

Этап 15.2.1.3

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f (- 2) = 10 - 24 - 12 - 2 {(- 2)}^{3}$

Этап 15.2.1.4

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $1$ .

$f (- 2) = 10 - 24 - 12 + (- 2) {(- 2)}^{3}$

Этап 15.2.1.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 2) = 10 - 24 - 12 + {(- 2)}^{1 + 3}$

Этап 15.2.1.4.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f (- 2) = 10 - 24 - 12 + {(- 2)}^{4}$

Этап 15.2.1.5

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f (- 2) = 10 - 24 - 12 + 16$

Этап 15.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вычтем $24$ из $10$ .

$f (- 2) = - 14 - 12 + 16$

Этап 15.2.2.2

Вычтем $12$ из $- 14$ .

$f (- 2) = - 26 + 16$

Этап 15.2.2.3

Добавим $- 26$ и $16$ .

$f (- 2) = - 10$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $- 10$ .

$y = - 10$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 10 + 12 x - 3 x^{2} - 2 x^{3}$ .

$(1, 17)$ — локальный максимум

$(- 2, - 10)$ — локальный минимум

Этап 17