Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 3} \frac{9 - x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 3} 9 - x^{2}}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} 9 - lim_{x \to - 3} x^{2}}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{9 - lim_{x \to - 3} x^{2}}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{9 - {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{9 - {(- 3)}^{2}}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x^{3} + lim_{x \to - 3} 3 x^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{3} + lim_{x \to - 3} 3 x^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{3} + 3 lim_{x \to - 3} x^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{3} + 3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $- 3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{0}{{(- 3)}^{3} + 3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{0}{{(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$\frac{0}{- 27 + 3 {(- 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6.1.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{0}{- 27 + 3 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.6.1.3

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{0}{- 27 + 27}$

Этап 1.1.3.6.2

Добавим $- 27$ и $27$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 3} \frac{9 - x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2}} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $9 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{0 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{0 - 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Этап 1.3.5

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x^{3} + 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + 3 (2 x)}$

Этап 1.3.8.3

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + 6 x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 2 lim_{x \to - 3} \frac{x}{3 x^{2} + 6 x}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 x^{2} + 6 x}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 x^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x}$

Этап 2.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{3 lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x}$

Этап 2.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$- 2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x}$

Этап 2.6

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $- 3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$- 2 \frac{- 3}{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$- 2 \frac{- 3}{3 {(- 3)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$- 2 \frac{- 3}{3 {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $- 3$ и $3 {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3$ .

$- 2 \frac{- 3 (1)}{3 {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3}$

Этап 4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $3 {(- 3)}^{2}$ .

$- 2 \frac{- 3 (1)}{- 3 (- {(- 3)}^{2}) + 6 \cdot - 3}$

Этап 4.1.2.2

Вынесем множитель $- 3$ из $6 \cdot - 3$ .

$- 2 \frac{- 3 (1)}{- 3 (- {(- 3)}^{2}) - 3 (- 2 \cdot - 3)}$

Этап 4.1.2.3

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (- {(- 3)}^{2}) - 3 (- 2 \cdot - 3)$ .

$- 2 \frac{- 3 (1)}{- 3 (- {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3)}$

Этап 4.1.2.4

Сократим общий множитель.

$- 2 \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 (- {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3)}$

Этап 4.1.2.5

Перепишем это выражение.

$- 2 \frac{1}{- {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- 2 \frac{1}{- 1 \cdot 9 - 2 \cdot - 3}$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 2 \frac{1}{- 9 - 2 \cdot - 3}$

Этап 4.2.3

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$- 2 \frac{1}{- 9 + 6}$

Этап 4.2.4

Добавим $- 9$ и $6$ .

$- 2 (\frac{1}{- 3})$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 (- \frac{1}{3})$

Этап 4.4

Умножим $- 2 (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 (\frac{1}{3})$

Этап 4.4.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{6}$