Математический анализ Примеры

$\sqrt{4 + x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\sqrt{4 + x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt{4 + x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Этап 4

Пусть $x = 2 \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $2 \sec^{2} (t)$ положительно.

$\int \sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Применим правило умножения к $2 \tan (t)$ .

$\int \sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5.1.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\int \sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5.1.5

Переставляем члены.

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5.1.6

Применим формулу Пифагора.

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5.1.7

Перепишем $4 \sec^{2} (t)$ в виде ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int 2 \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\int 4 \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Этап 5.2.2

Умножим $\sec (t)$ на $\sec^{2} (t)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перенесем $\sec^{2} (t)$ .

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Этап 5.2.2.2

Умножим $\sec^{2} (t)$ на $\sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Этап 5.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 4 {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Этап 5.2.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

Этап 6

Поскольку $4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \sec^{3} (t) d t$

Этап 7

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $\sec^{3} (t)$ .

$4 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Этап 8

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sec (t)$ и $d v = \sec^{2} (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Этап 9

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Этап 10

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Этап 11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Этап 12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $1$ и $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Этап 12.2

Изменим порядок $\tan^{2} (t)$ и $\sec (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Этап 13

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (t)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Этап 14

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Этап 14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Этап 14.3

Изменим порядок $\sec (t)$ и $- 1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Этап 15

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Этап 16

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Этап 17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Этап 18

Добавим $1$ и $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Этап 19

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Этап 20

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Этап 21

Добавим $2$ и $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Этап 22

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Этап 23

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Этап 24

Интеграл $\sec (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Этап 25

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 25.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 26

Найдя решение для $\int \sec^{3} (t) d t$ , получим $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Этап 27

Умножим $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ на $1$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Этап 28

Упростим.

$4 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 29

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 29.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 29.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 29.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 29.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 29.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 30

Заменим все вхождения $t$ на $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$2 (\sec (\arctan (\frac{x}{2})) \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\arctan (\frac{x}{2})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \frac{x}{2})$ . Следовательно, $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ равно $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$2 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.2

Применим правило умножения к $\frac{x}{2}$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 (\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.6

Перепишем $\frac{4 + x^{2}}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.1.6.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $4 + x^{2}$ .

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.6.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.6.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.9

Тангенс и арктангенс — обратные функции.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.10

Объединим.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{2 \cdot 2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.11

Умножим $2$ на $2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.1.12.1

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.12.2

Применим правило умножения к $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.12.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.12.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.12.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.12.6

Перепишем $\frac{4 + x^{2}}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.1.12.6.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $4 + x^{2}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.12.6.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.12.6.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.12.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.12.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Этап 31.1.12.9

Тангенс и арктангенс — обратные функции.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{x}{2} |)) + C$

Этап 31.1.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}} + x}{2} |)) + C$

Этап 31.1.14

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})) + C$

Этап 31.2

Чтобы записать $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

Этап 31.3

Объединим $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ и $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \frac{\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4}) + C$

Этап 31.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Этап 31.5

Перенесем $4$ влево от $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{4} + C$

Этап 31.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 (2)} + C$

Этап 31.6.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Этап 31.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2} + C$

Этап 32

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$

Этап 33

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sqrt{4 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$