Математический анализ Примеры

$- 13 \sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1

Запишем $- 13 \sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (x)}$ в виде функции.

$f (x) = - 13 \sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int - 13 \sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (x)} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 13 \sin (x) d x + \int \frac{5}{\cos^{2} (x)} d x$

Этап 5

Поскольку $- 13$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 13$ из-под знака интеграла.

$- 13 \int \sin (x) d x + \int \frac{5}{\cos^{2} (x)} d x$

Этап 6

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$- 13 (- \cos (x) + C) + \int \frac{5}{\cos^{2} (x)} d x$

Этап 7

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$- 13 (- \cos (x) + C) + 5 \int \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

Этап 8

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в $\sec^{2} (x)$ .

$- 13 (- \cos (x) + C) + 5 \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 9

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$- 13 (- \cos (x) + C) + 5 (\tan (x) + C)$

Этап 10

Упростим.

$13 \cos (x) + 5 \tan (x) + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = - 13 \sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $13 \cos (x) + 5 \tan (x) + C$