Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{x y}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (f (x)) = \frac{d}{d y} (e^{x y})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $f (x)$ равна $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x$ и $g (y) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$e^{x y} (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$e^{x y} (x + y x')$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x y} x + e^{x y} (y x')$

Этап 3.5.2

Изменим порядок членов.

$e^{x y} x + e^{x y} y x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{d f}{d x} = e^{x y} x + e^{x y} y x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x y} x + e^{x y} y x' = \frac{d f}{d x}$ .

$e^{x y} x + e^{x y} y x' = \frac{d f}{d x}$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $e^{x y} x + e^{x y} y x'$ .

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = \frac{f}{x}$

Этап 5.4

Вычтем $x e^{x y}$ из обеих частей уравнения.

$y x' e^{x y} = \frac{f}{x} - x e^{x y}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y x' e^{x y} = \frac{f}{x} - x e^{x y}$ на $y e^{x y}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y x' e^{x y} = \frac{f}{x} - x e^{x y}$ на $y e^{x y}$ .

$\frac{y x' e^{x y}}{y e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x' e^{x y}}{y e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель $e^{x y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Этап 5.5.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x' = \frac{f}{x} \cdot \frac{1}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Этап 5.5.3.1.2

Объединим.

$x' = \frac{f \cdot 1}{x (y e^{x y})} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Этап 5.5.3.1.3

Умножим $f$ на $1$ .

$x' = \frac{f}{x (y e^{x y})} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Этап 5.5.3.1.4

Сократим общий множитель $e^{x y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{f}{x y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Этап 5.5.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{f}{x y e^{x y}} + \frac{- x}{y}$

Этап 5.5.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = \frac{f}{x y e^{x y}} - \frac{x}{y}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{f}{x y e^{x y}} - \frac{x}{y}$