Математический анализ Примеры

$y = x^{\sin (2 x + 1)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\sin (2 x + 1)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $x^{\sin (2 x + 1)}$ в виде $e^{\ln (x^{\sin (2 x + 1)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (2 x + 1)})}]$

Этап 3.1.2

Развернем $\ln (x^{\sin (2 x + 1)})$ , вынося $\sin (2 x + 1)$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \sin (2 x + 1) \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (2 x + 1) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1) \ln (x)]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1) \ln (x)]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (2 x + 1) \ln (x)$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1) \ln (x)]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (2 x + 1)$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)])$

Этап 3.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)])$

Этап 3.5

Объединим $\sin (2 x + 1)$ и $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)])$

Этап 3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x + 1$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

Этап 3.6.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x + 1$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

Этап 3.7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Этап 3.7.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Этап 3.7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])))$

Этап 3.7.4

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])))$

Этап 3.7.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 + 0)))$

Этап 3.7.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) \cdot 2))$

Этап 3.7.6.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x + 1)$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (2 \cdot \cos (2 x + 1)))$

Этап 3.8

Чтобы записать $\ln (x) (2 \cos (2 x + 1))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \frac{\ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x}{x})$

Этап 3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \frac{\sin (2 x + 1) + \ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x}{x}$

Этап 3.10

Объединим $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ и $\frac{\sin (2 x + 1) + \ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x}{x}$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + \ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x)}{x}$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + 2 \ln (x) \cos (2 x + 1) x)}{x}$

Этап 3.11.1.1.2

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + \ln (x^{2}) \cos (2 x + 1) x)}{x}$

Этап 3.11.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\ln (x^{2}) \cos (2 x + 1) x)}{x}$

Этап 3.11.1.3

Изменим порядок множителей в $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \ln (x^{2}) \cos (2 x + 1) x$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + x e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \ln (x^{2}) \cos (2 x + 1)}{x}$

Этап 3.11.2

Изменим порядок членов.

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})}{x}$

Этап 3.11.3

Вынесем множитель $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ из $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1

Вынесем множитель $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ из $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1)$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1)) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})}{x}$

Этап 3.11.3.2

Вынесем множитель $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ из $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1)) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$

Этап 3.11.3.3

Вынесем множитель $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ из $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1)) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$