Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - 2}{x^{2} + x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.1.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.1.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{2 e^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{2 e^{0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

Этап 1.1.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.1.3.4.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - 2}{x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2 e^{2 x} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{2 x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.6

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3.7

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.5

Добавим $4 e^{2 x}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x^{2} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x}}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x}}{2 x + 1}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x}}{2 x + 1}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Этап 2.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$4 \frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x}}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Этап 2.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

Этап 2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Этап 2.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$4 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \frac{e^{2 \cdot 0}}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \frac{e^{2 \cdot 0}}{2 \cdot 0 + 1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$4 \frac{e^{0}}{2 \cdot 0 + 1}$

Этап 4.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$4 \frac{1}{2 \cdot 0 + 1}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$4 \frac{1}{0 + 1}$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$4 (\frac{1}{1})$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{1}{1})$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$4 \cdot 1$

Этап 4.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$