Математический анализ Примеры

Поскольку ${\displaystyle 4}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 4x^3}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 4\frac{d}{dx}\left[x^3\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=3}$.

Умножим ${\displaystyle 3}$ на ${\displaystyle 4}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=4}$.

Первая производная ${\displaystyle f\left(x\right)}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 4x^3}$.

Пусть первая производная равна ${\displaystyle 0}$.

Разделим каждый член ${\displaystyle 4x^3=0}$ на ${\displaystyle 4}$ и упростим.

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

Упростим ${\displaystyle \sqrt[3]{0}}$.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Возведение ${\displaystyle 0}$ в любую положительную степень дает ${\displaystyle 0}$.

Умножим ${\displaystyle 12}$ на ${\displaystyle 0}$.

Разобьем ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ на отдельные интервалы в окрестности значений ${\displaystyle x}$, при которых первая производная равна ${\displaystyle 0}$ или не определена.

Подставим любое число такое, что ${\displaystyle -2}$, из интервала ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ в первую производную ${\displaystyle 4x^3}$, чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Подставим любое число такое, что ${\displaystyle 2}$, из интервала ${\displaystyle (0,\infty )}$ в первую производную ${\displaystyle 4x^3}$, чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности ${\displaystyle x=0}$, ${\displaystyle x=0}$ — локальный минимум.