Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 + x} - 2}{x - 2}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 + x} - 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 + x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 + x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 + lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.2.1.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.2.1.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to 2} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2 + 2} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.2.3.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.2.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Этап 1.3.1.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 + x} - 2}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{2 + x} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 + x}$ в виде ${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 2 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 + x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 + x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $2 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.3.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.3.11

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.3.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.3.13

Умножим $\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.3.14

Перенесем ${(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.5

Добавим $\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.8

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Этап 3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 5

Перепишем ${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{2 + x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{2 + x}} \cdot 1$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{2 + x}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{2 + x}}$

Этап 6.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2 + x}}$

Этап 6.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 + x}}$

Этап 6.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 + x}}$

Этап 6.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 + x}}$

Этап 6.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 + lim_{x \to 2} x}}$

Этап 6.7

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + lim_{x \to 2} x}}$

Этап 7

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + 2}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 8.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 8.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 8.2

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

Этап 8.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4}$