Математический анализ Примеры

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Этап 1

Запишем $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Этап 4

Пусть $u = 1 + \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 1 + \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Этап 4.1.4

Добавим $0$ и $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $1 + \sin (x)$ .

$\ln (| 1 + \sin (x) |) + C$

Этап 7

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$F (x) =$ $\ln (| 1 + \sin (x) |) + C$