Математический анализ Примеры

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в $\sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 4.2

Переведем $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в $\csc^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sec^{2} (x) d x + \int - \csc^{2} (x) d x$

Этап 6

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + \int - \csc^{2} (x) d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\tan (x) + C - \int \csc^{2} (x) d x$

Этап 8

Поскольку производная $- \cot (x)$ равна $\csc^{2} (x)$ , интеграл $\csc^{2} (x)$ равен $- \cot (x)$ .

$\tan (x) + C - (- \cot (x) + C)$

Этап 9

Упростим.

$\tan (x) + \cot (x) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) + \cot (x) + C$