Математический анализ Примеры

$x \cdot e^{3 x}$

Этап 1

Запишем $x \cdot e^{3 x}$ в виде функции.

$f (x) = x \cdot e^{3 x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x \cdot e^{3 x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{3 x}$ .

$x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Этап 5.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)$

Этап 7

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 7.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 8

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Этап 10.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u$

Этап 11

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$

Этап 12

Перепишем $\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$ в виде $\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$ .

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x \cdot e^{3 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$