Математический анализ Примеры

$\int (2 x^{4} + 2 x^{2} - 5 x^{- 3}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 2 x^{4} + 2 x^{2} - 5 x^{- 3} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x^{4} d x + \int 2 x^{2} d x + \int - 5 x^{- 3} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x^{4} d x + \int 2 x^{2} d x + \int - 5 x^{- 3} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 2 x^{2} d x + \int - 5 x^{- 3} d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 2 \int x^{2} d x + \int - 5 x^{- 3} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 5 x^{- 3} d x$

Этап 7

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 \int x^{- 3} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$2 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 9.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 9.1.3

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Этап 9.1.4

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Этап 9.2

Упростим.

$\frac{2 x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} - 5 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + 5 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 9.3.2

Объединим $5$ и $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{5}{2 x^{2}} + C$

Этап 9.4

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} + \frac{5}{2 x^{2}} + C$