Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{6}{{(4 - 3 x)}^{2}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{6}{{(4 - 3 x)}^{2}} d x$

Этап 3

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int \frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}} d x$

Этап 4

Пусть $u = 4 - 3 x$ . Тогда $d u = - 3 d x$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 4 - 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $4 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $4 - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$0 - 3$

Этап 4.1.4

Вычтем $3$ из $0$ .

$- 3$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$6 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{3}) d u$

Этап 5.2

Умножим $\frac{1}{u^{2}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$6 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Этап 5.3

Перенесем $3$ влево от $u^{2}$ .

$6 \int - \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$6 (- \int \frac{1}{3 u^{2}} d u)$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- 6 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 6$ .

$\frac{- 6}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 9.1.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 9.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 9.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 9.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 9.1.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$- 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 9.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 9.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 9.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \int u^{- 2} d u$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- 2 (- u^{- 1} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем $- 2 (- u^{- 1} + C)$ в виде $- 2 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- 2 (- \frac{1}{u}) + C$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \frac{1}{u} + C$

Этап 11.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{u}$ .

$\frac{2}{u} + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $4 - 3 x$ .

$\frac{2}{4 - 3 x} + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{6}{{(4 - 3 x)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{4 - 3 x} + C$