Математический анализ Примеры

$f (x) = - 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{x}{3})] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2.2

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 \sin (\frac{x}{3})$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{3})]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{3})] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{3}$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2.3.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$- 5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{3}$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2.4

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2.6

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) \frac{1}{3}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2.7

Объединим $\cos (\frac{x}{3})$ и $\frac{1}{3}$ .

$- 5 \frac{\cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2.8

Объединим $- 5$ и $\frac{\cos (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{- 5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$ и $0$ .

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{5}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$ по $x$ равна $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{3})]$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot \frac{d}{d x} \cos (\frac{x}{3})$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{3})$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} \frac{x}{3})$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{5}{3}) \cdot (\sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

Этап 2.3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{5}{3}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

Этап 2.3.2.2

Объединим $\sin (\frac{x}{3})$ и $\frac{5}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\sin (\frac{x}{3}) \cdot 5}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{3})$

Этап 2.3.2.3

Перенесем $5$ влево от $\sin (\frac{x}{3})$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot \sin (\frac{x}{3})}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{3})$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9} \cdot 1$

Этап 2.3.6

Умножим $\frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} = 0$

Этап 4

Приравняем числитель к нулю.

$5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$ на $5$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 5.1.2.1.2

Разделим $\cos (\frac{x}{3})$ на $1$ .

$\cos (\frac{x}{3}) = \frac{0}{5}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Разделим $0$ на $5$ .

$\cos (\frac{x}{3}) = 0$

Этап 5.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{x}{3} = \arccos (0)$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$

Этап 5.4

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Этап 5.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Этап 5.5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 3 \frac{π}{2}$

Этап 5.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Объединим $3$ и $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{x}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 5.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 5.7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 5.7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 5.7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Упростим $3 (2 π - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 3 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 5.7.2.2.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = 3 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 5.7.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 3 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.7.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = 3 \frac{4 π - π}{2}$

Этап 5.7.2.2.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = 3 \frac{3 π}{2}$

Этап 5.7.2.2.1.4

Умножим $3 \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.4.1

Объединим $3$ и $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{3 (3 π)}{2}$

Этап 5.7.2.2.1.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$x = \frac{9 π}{2}$

Этап 5.8

Решение уравнения $\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2}$

Этап 6

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{5 \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{9}$

Этап 7

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Этап 7.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$\frac{5 \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Этап 7.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Этап 7.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \sin (\frac{π}{2})}{9}$

Этап 7.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{5 \cdot 1}{9}$

Этап 7.2

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{5}{9}$

Этап 8

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный минимум

Этап 9

Найдем значение y, если $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 π}{2})) - 15$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (π)}{2}) - 15$

Этап 9.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 π}{2}) - 15$

Этап 9.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{π}{2}) - 15$

Этап 9.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \cdot 1 - 15$

Этап 9.2.1.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 - 15$

Этап 9.2.2

Вычтем $15$ из $- 5$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 20$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $- 20$ .

$y = - 20$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = \frac{9 π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{5 \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{9}$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{5 \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Этап 11.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9 π$ .

$\frac{5 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Этап 11.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Этап 11.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2})}{9}$

Этап 11.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$\frac{5 (- \sin (\frac{π}{2}))}{9}$

Этап 11.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{5 (- 1 \cdot 1)}{9}$

Этап 11.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{9}$

Этап 11.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{- 5}{9}$

Этап 11.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{9}$

Этап 12

$x = \frac{9 π}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{9 π}{2}$ — локальный максимум

Этап 13

Найдем значение y, если $x = \frac{9 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{9 π}{2}$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot (\frac{9 π}{2})) - 15$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2}) - 15$

Этап 13.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2}) - 15$

Этап 13.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{3 π}{2}) - 15$

Этап 13.2.1.2

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 (- \sin (\frac{π}{2})) - 15$

Этап 13.2.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 (- 1 \cdot 1) - 15$

Этап 13.2.1.4

Умножим $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \cdot - 1 - 15$

Этап 13.2.1.4.2

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = 5 - 15$

Этап 13.2.2

Вычтем $15$ из $5$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 10$

Этап 13.2.3

Окончательный ответ: $- 10$ .

$y = - 10$

Этап 14

Это локальные экстремумы $f (x) = - 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$ .

$(\frac{3 π}{2}, - 20)$ — локальный минимум

$(\frac{9 π}{2}, - 10)$ — локальный максимум

Этап 15