Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 t + 2}{\sqrt{t + 1}} d t$

Этап 1

Пусть $u = t + 1$ . Тогда $d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = t + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = t + 1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Этап 1.3

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{lower} = 2$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = t + 1$ .

$u_{upper} = x^{2} + 1 + 1$

Этап 1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = x^{2} + 2$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = x^{2} + 2$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} \frac{2 (u - 1) + 2}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} \frac{2 (u - 1) + 2}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3

Развернем $(2 (u - 1) + 2) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 u + 2 \cdot - 1 + 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 u + 2 \cdot - 1) u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.4

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.8

Вычтем $1$ из $2$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.10

Добавим $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ и $2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} + 0 d u$

Этап 3.11

Добавим $2 u^{\frac{1}{2}}$ и $0$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{2}^{x^{2} + 2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{x^{2} + 2})$

Этап 6

Объединим $\frac{2}{3}$ и $u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{2}^{x^{2} + 2})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $x^{2} + 2$ и в $2$ .

$2 ((\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $2$ на $2^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $2$ на $2^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 7.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3})$

Этап 7.2.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3})$

Этап 7.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3})$

Этап 7.2.1.4

Добавим $2$ и $3$ .

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Этап 7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Этап 7.2.3

Объединим $2$ и $\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}}}{3}$ .

$\frac{2 (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}})}{3}$

Этап 8

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Этап 9.2

Умножим $\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $2$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Этап 9.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Этап 9.2.3

Объединим $\frac{4}{3}$ и ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Этап 9.3

Умножим $\frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $2^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Этап 9.3.2

Умножим $2$ на $2^{\frac{5}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Умножим $2$ на $2^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Этап 9.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1 + \frac{5}{2}}}{3}$

Этап 9.3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{3}$

Этап 9.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 + 5}{2}}}{3}$

Этап 9.3.2.4

Добавим $2$ и $5$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{3}$

Этап 9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{7}{2}}}{3}$