Математический анализ Примеры

$\int (x - 3) (4 x - 1) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (4 x - 1) - 3 (4 x - 1) d x$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (4 x) + x \cdot - 1 - 3 (4 x - 1) d x$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (4 x) + x \cdot - 1 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 1 d x$

Этап 1.4

Изменим порядок $x$ и $4$ .

$\int 4 \cdot x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 1 d x$

Этап 1.5

Изменим порядок $x$ и $- 1$ .

$\int 4 \cdot x \cdot x - 1 \cdot x - 3 (4 x) - 3 \cdot - 1 d x$

Этап 1.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 4 (x^{1} x) - 1 x - 3 \cdot 4 x - 3 \cdot - 1 d x$

Этап 1.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 4 (x^{1} x^{1}) - 1 x - 3 \cdot 4 x - 3 \cdot - 1 d x$

Этап 1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 4 x^{1 + 1} - 1 x - 3 \cdot 4 x - 3 \cdot - 1 d x$

Этап 1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 4 x^{2} - 1 x - 3 \cdot 4 x - 3 \cdot - 1 d x$

Этап 1.10

Умножим $- 3$ на $4$ .

$\int 4 x^{2} - 1 x - 12 x - 3 \cdot - 1 d x$

Этап 1.11

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\int 4 x^{2} - 1 x - 12 x + 3 d x$

Этап 1.12

Вычтем $12 x$ из $- 1 x$ .

$\int 4 x^{2} - 13 x + 3 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 x^{2} d x + \int - 13 x d x + \int 3 d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int x^{2} d x + \int - 13 x d x + \int 3 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 13 x d x + \int 3 d x$

Этап 5

Поскольку $- 13$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 13$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 13 \int x d x + \int 3 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 13 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 13 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 13 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C$

Этап 8.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 13 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C$

Этап 8.2

Упростим.

$\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{13 x^{2}}{2} + 3 x + C$

Этап 9

Изменим порядок членов.

$\frac{4}{3} x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} + 3 x + C$