Математический анализ Примеры

$\int_{- 8}^{4} \frac{14}{{(9 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 1

Поскольку $14$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $14$ из-под знака интеграла.

$14 \int_{- 8}^{4} \frac{1}{{(9 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 9 - 2 x$ . Тогда $d u = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 9 - 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $9 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 - 2 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $9 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Этап 2.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$0 - 2$

Этап 2.1.4

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 9 - 2 x$ .

$u_{lower} = 9 - 2 \cdot - 8$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 2$ на $- 8$ .

$u_{lower} = 9 + 16$

Этап 2.3.2

Добавим $9$ и $16$ .

$u_{lower} = 25$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 9 - 2 x$ .

$u_{upper} = 9 - 2 \cdot 4$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $- 2$ на $4$ .

$u_{upper} = 9 - 8$

Этап 2.5.2

Вычтем $8$ из $9$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 25$

$u_{upper} = 1$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$14 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$14 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$14 \int_{25}^{1} - \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Этап 3.3

Перенесем $2$ влево от $u^{\frac{3}{2}}$ .

$14 \int_{25}^{1} - \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$14 (- \int_{25}^{1} \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $14$ .

$- 14 \int_{25}^{1} \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- 14 (\frac{1}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 14$ .

$\frac{- 14}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 7.1.2

Сократим общий множитель $- 14$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 14$ .

$\frac{2 \cdot - 7}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 7.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 7}{2 (1)} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 7.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 7.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 7}{1} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 7.1.2.2.4

Разделим $- 7$ на $1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 7.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем $u^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- 7 \int_{25}^{1} {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 7.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 7.2.2.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Этап 7.2.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Этап 7.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 7 \int_{25}^{1} u^{- \frac{3}{2}} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 7 (- 2 u^{- \frac{1}{2}}]_{25}^{1})$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ в $1$ и в $25$ .

$- 7 ((- 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 7 (- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

Этап 9.2.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

Этап 9.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}})$

Этап 9.2.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 9.2.5

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}})$

Этап 9.2.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.6.1

Сократим общий множитель.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}})$

Этап 9.2.6.2

Перепишем это выражение.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{1}})$

Этап 9.2.7

Найдем экспоненту.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5})$

Этап 9.2.8

Объединим $2$ и $\frac{1}{5}$ .

$- 7 (- 2 + \frac{2}{5})$

Этап 9.2.9

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- 7 (- 2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5})$

Этап 9.2.10

Объединим $- 2$ и $\frac{5}{5}$ .

$- 7 (\frac{- 2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5})$

Этап 9.2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 7 \frac{- 2 \cdot 5 + 2}{5}$

Этап 9.2.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.12.1

Умножим $- 2$ на $5$ .

$- 7 \frac{- 10 + 2}{5}$

Этап 9.2.12.2

Добавим $- 10$ и $2$ .

$- 7 (\frac{- 8}{5})$

Этап 9.2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 7 (- \frac{8}{5})$

Этап 9.2.14

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$7 (\frac{8}{5})$

Этап 9.2.15

Объединим $7$ и $\frac{8}{5}$ .

$\frac{7 \cdot 8}{5}$

Этап 9.2.16

Умножим $7$ на $8$ .

$\frac{56}{5}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{56}{5}$

Десятичная форма:

$11.2$

Форма смешанных чисел:

$11 \frac{1}{5}$

Этап 11