Математический анализ Примеры

$y = \arctan (\sqrt{x - 4})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 4}$ в виде ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \arctan ({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan ({(x - 4)}^{\frac{1}{2}}))$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Производная $\arctan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + {(x - 4)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.3

Упростим.

$\frac{1}{1 + x - 4} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.4

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{1}{x - 3} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x - 4$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 4])$

Этап 4.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Этап 4.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 4$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Этап 4.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Этап 4.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Этап 4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Этап 4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Этап 4.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Этап 4.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Этап 4.10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{{(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Этап 4.10.3

Перенесем ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Этап 4.10.4

Умножим $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x - 3}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 4.11

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 4.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 4.13

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} (1 + 0)$

Этап 4.14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} \cdot 1$

Этап 4.14.2

Умножим $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$