Математический анализ Примеры

$\int_{- 3}^{4} (y - (y^{2} - 12)) d y$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 3}^{4} y - (y^{2} - 12) d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{4} y d y + \int_{- 3}^{4} - (y^{2} - 12) d y$

Этап 3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - (y^{2} - 12) d y$

Этап 4

Умножим $- (y^{2} - 12)$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - y^{2} - - 12 d y$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - y^{2} + 12 d y$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - y^{2} d y + \int_{- 3}^{4} 12 d y$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} - \int_{- 3}^{4} y^{2} d y + \int_{- 3}^{4} 12 d y$

Этап 8

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 3}^{4}) + \int_{- 3}^{4} 12 d y$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{4}) + \int_{- 3}^{4} 12 d y$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{4}) + 12 y]_{- 3}^{4}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4}$ и $12 y]_{- 3}^{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 12 y]_{- 3}^{4} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{4})$

Этап 11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\frac{1}{2} y^{2} + 12 y$ в $4$ и в $- 3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 12 \cdot 4) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{4})$

Этап 11.2.2

Найдем значение $\frac{y^{3}}{3}$ в $4$ и в $- 3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 12 \cdot 4) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $16$ .

$\frac{16}{2} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.3

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{1} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.3.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$8 + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.4

Умножим $12$ на $4$ .

$8 + 48 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.5

Добавим $8$ и $48$ .

$56 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.6

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$56 - (\frac{1}{2} \cdot 9 + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $9$ .

$56 - (\frac{9}{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.8

Умножим $12$ на $- 3$ .

$56 - (\frac{9}{2} - 36) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.9

Чтобы записать $- 36$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$56 - (\frac{9}{2} - 36 \cdot \frac{2}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.10

Объединим $- 36$ и $\frac{2}{2}$ .

$56 - (\frac{9}{2} + \frac{- 36 \cdot 2}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$56 - \frac{9 - 36 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.12.1

Умножим $- 36$ на $2$ .

$56 - \frac{9 - 72}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.12.2

Вычтем $72$ из $9$ .

$56 - \frac{- 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$56 - - \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.14

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$56 + 1 (\frac{63}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.15

Умножим $\frac{63}{2}$ на $1$ .

$56 + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.16

Чтобы записать $56$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$56 \cdot \frac{2}{2} + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.17

Объединим $56$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{56 \cdot 2}{2} + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{56 \cdot 2 + 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.19.1

Умножим $56$ на $2$ .

$\frac{112 + 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.19.2

Добавим $112$ и $63$ .

$\frac{175}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.20

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 11.2.3.21

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 27}{3})$

Этап 11.2.3.22

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.22.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3})$

Этап 11.2.3.22.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.22.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)})$

Этап 11.2.3.22.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1})$

Этап 11.2.3.22.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 9}{1})$

Этап 11.2.3.22.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - - 9)$

Этап 11.2.3.23

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + 9)$

Этап 11.2.3.24

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3})$

Этап 11.2.3.25

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3})$

Этап 11.2.3.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{175}{2} - \frac{64 + 9 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3.27

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.27.1

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{175}{2} - \frac{64 + 27}{3}$

Этап 11.2.3.27.2

Добавим $64$ и $27$ .

$\frac{175}{2} - \frac{91}{3}$

Этап 11.2.3.28

Чтобы записать $\frac{175}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3}$

Этап 11.2.3.29

Чтобы записать $- \frac{91}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 11.2.3.30

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.30.1

Умножим $\frac{175}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 11.2.3.30.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 11.2.3.30.3

Умножим $\frac{91}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Этап 11.2.3.30.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91 \cdot 2}{6}$

Этап 11.2.3.31

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{175 \cdot 3 - 91 \cdot 2}{6}$

Этап 11.2.3.32

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.32.1

Умножим $175$ на $3$ .

$\frac{525 - 91 \cdot 2}{6}$

Этап 11.2.3.32.2

Умножим $- 91$ на $2$ .

$\frac{525 - 182}{6}$

Этап 11.2.3.32.3

Вычтем $182$ из $525$ .

$\frac{343}{6}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{343}{6}$

Десятичная форма:

$57.1\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$57 \frac{1}{6}$

Этап 13