Математический анализ Примеры

$\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{10}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{10} x^{5}$ по $x$ равна $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Этап 2.1.2.3

Объединим $5$ и $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Этап 2.1.2.4

Объединим $\frac{5}{10}$ и $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Этап 2.1.2.5

Сократим общий множитель $5$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Этап 2.1.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Этап 2.1.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Этап 2.1.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{3}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} - 3 (3 x^{2})$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} - 9 x^{2}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{4}}{2} - 9 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{4}}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 2.2.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 2.2.2.4

Объединим $\frac{4}{2}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 2.2.2.5

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 2.2.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 2.2.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 2.2.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 2.2.2.5.2.4

Разделим $2 x^{3}$ на $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{2}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x^{3} - 9 (2 x)$

Этап 2.2.3.3

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} - 18 x$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x^{3} - 18 x$ .

$2 x^{3} - 18 x$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x^{3} - 18 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$2 x^{3} - 18 x = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3} - 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 18 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ .

$2 x (x^{2} - 9) = 0$

Этап 3.2.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Этап 3.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Этап 3.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (x + 3) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, - 3, 3$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} - 3 {(0)}^{3}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot 0 - 3 {(0)}^{3}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $\frac{1}{10}$ на $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{3}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 4.3

Подставим $- 3$ в $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot {(- 3)}^{5} - 3 {(- 3)}^{3}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $5$ .

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot - 243 - 3 {(- 3)}^{3}$

Этап 4.3.2.1.2

Объединим $\frac{1}{10}$ и $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{10} - 3 {(- 3)}^{3}$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} - 3 {(- 3)}^{3}$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $- 3$ на ${(- 3)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

Умножим $- 3$ на ${(- 3)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1.1

Возведем $- 3$ в степень $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + (- 3) {(- 3)}^{3}$

Этап 4.3.2.1.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + {(- 3)}^{1 + 3}$

Этап 4.3.2.1.4.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + {(- 3)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.5

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + 81$

Этап 4.3.2.2

Чтобы записать $81$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + 81 \cdot \frac{10}{10}$

Этап 4.3.2.3

Объединим $81$ и $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + \frac{81 \cdot 10}{10}$

Этап 4.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 3) = \frac{- 243 + 81 \cdot 10}{10}$

Этап 4.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Умножим $81$ на $10$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 + 810}{10}$

Этап 4.3.2.5.2

Добавим $- 243$ и $810$ .

$f (- 3) = \frac{567}{10}$

Этап 4.3.2.6

Окончательный ответ: $\frac{567}{10}$ .

$\frac{567}{10}$

Этап 4.4

Подставляя $- 3$ в $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ , найдем точку $(- 3, \frac{567}{10})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 3, \frac{567}{10})$

Этап 4.5

Подставим $3$ в $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{1}{10} \cdot {(3)}^{5} - 3 {(3)}^{3}$

Этап 4.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Возведем $3$ в степень $5$ .

$f (3) = \frac{1}{10} \cdot 243 - 3 {(3)}^{3}$

Этап 4.5.2.1.2

Объединим $\frac{1}{10}$ и $243$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 3 {(3)}^{3}$

Этап 4.5.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 3 \cdot 27$

Этап 4.5.2.1.4

Умножим $- 3$ на $27$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 81$

Этап 4.5.2.2

Чтобы записать $- 81$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 81 \cdot \frac{10}{10}$

Этап 4.5.2.3

Объединим $- 81$ и $\frac{10}{10}$ .

$f (3) = \frac{243}{10} + \frac{- 81 \cdot 10}{10}$

Этап 4.5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (3) = \frac{243 - 81 \cdot 10}{10}$

Этап 4.5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.5.1

Умножим $- 81$ на $10$ .

$f (3) = \frac{243 - 810}{10}$

Этап 4.5.2.5.2

Вычтем $810$ из $243$ .

$f (3) = \frac{- 567}{10}$

Этап 4.5.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (3) = - \frac{567}{10}$

Этап 4.5.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{567}{10}$ .

$- \frac{567}{10}$

Этап 4.6

Подставляя $3$ в $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ , найдем точку $(3, - \frac{567}{10})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(3, - \frac{567}{10})$

Этап 4.7

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (- 3, \frac{567}{10}), (3, - \frac{567}{10})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 3)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = 2 {(- 3.1)}^{3} - 18 \cdot - 3.1$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 3.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 3.1) = 2 \cdot - 29.791 - 18 \cdot - 3.1$

Этап 6.2.1.2

Умножим $2$ на $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 59.582 - 18 \cdot - 3.1$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 18$ на $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 59.582 + 55.8$

Этап 6.2.2

Добавим $- 59.582$ и $55.8$ .

$f'' (- 3.1) = - 3.782$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 3.782$ .

$- 3.782$

Этап 6.3

При $- 3.1$ вторая производная имеет вид $- 3.782$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 3)$ .

Убывание на $(- \infty, - 3)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 3, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 18 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 18 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{2^{3}}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{8}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{27}{8}$ в числитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{8}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 (4)}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 \cdot 4}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{4} - 18 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 18 (- \frac{3}{2})$

Этап 7.2.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 18 (\frac{- 3}{2})$

Этап 7.2.1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{- 3}{2})$

Этап 7.2.1.7.3

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{- 3}{2}))$

Этап 7.2.1.7.4

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 9 \cdot - 3$

Этап 7.2.1.8

Умножим $- 9$ на $- 3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 27$

Этап 7.2.2

Чтобы записать $27$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 27 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 7.2.3

Объединим $27$ и $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27 \cdot 4}{4}$

Этап 7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 27 \cdot 4}{4}$

Этап 7.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Умножим $27$ на $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 108}{4}$

Этап 7.2.5.2

Добавим $- 27$ и $108$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4}$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ: $\frac{81}{4}$ .

$\frac{81}{4}$

Этап 7.3

При $- \frac{3}{2}$ вторая производная имеет вид $20.25$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 3, 0)$ .

Возрастание в области $(- 3, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, 3)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 (\frac{3}{2})$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 18 (\frac{3}{2})$

Этап 8.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2^{3}}) - 18 (\frac{3}{2})$

Этап 8.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{8}) - 18 (\frac{3}{2})$

Этап 8.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 (4)}) - 18 (\frac{3}{2})$

Этап 8.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 \cdot 4}) - 18 (\frac{3}{2})$

Этап 8.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 18 (\frac{3}{2})$

Этап 8.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{3}{2})$

Этап 8.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{3}{2}))$

Этап 8.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \cdot 3$

Этап 8.2.1.6

Умножим $- 9$ на $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 27$

Этап 8.2.2

Чтобы записать $- 27$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 27 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 8.2.3

Объединим $- 27$ и $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 27 \cdot 4}{4}$

Этап 8.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 4}{4}$

Этап 8.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Умножим $- 27$ на $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 108}{4}$

Этап 8.2.5.2

Вычтем $108$ из $27$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 81}{4}$

Этап 8.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{81}{4}$

Этап 8.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{81}{4}$ .

$- \frac{81}{4}$

Этап 8.3

При $\frac{3}{2}$ вторая производная имеет вид $- 20.25$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0, 3)$ .

Убывание на $(0, 3)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(3, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.1$ .

$f'' (3.1) = 2 {(3.1)}^{3} - 18 \cdot 3.1$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Возведем $3.1$ в степень $3$ .

$f'' (3.1) = 2 \cdot 29.791 - 18 \cdot 3.1$

Этап 9.2.1.2

Умножим $2$ на $29.791$ .

$f'' (3.1) = 59.582 - 18 \cdot 3.1$

Этап 9.2.1.3

Умножим $- 18$ на $3.1$ .

$f'' (3.1) = 59.582 - 55.8$

Этап 9.2.2

Вычтем $55.8$ из $59.582$ .

$f'' (3.1) = 3.782$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $3.782$ .

$3.782$

Этап 9.3

При $3.1$ вторая производная имеет вид $3.782$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(3, \infty)$ .

Возрастание в области $(3, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 10

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 3, \frac{567}{10}), (0, 0), (3, - \frac{567}{10})$ .

$(- 3, \frac{567}{10}), (0, 0), (3, - \frac{567}{10})$

Этап 11