Математический анализ Примеры

$y \cdot 2^{y} = x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y \cdot 2^{y}) = \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = y$ и $g (x) = 2^{y}$ .

$y \frac{d}{d x} [2^{y}] + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 2^{x}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$y (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$y (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$y (2^{y} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Изменим порядок членов.

$2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$

Этап 2.5.2

Изменим порядок множителей в $2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$ .

$y \cdot 2^{y} \ln (2) y' + 2^{y} y'$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y' = 1$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y' = 1$

Этап 5.1.2

Изменим порядок множителей в $\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y'$ .

$y y' \cdot 2^{y} \ln (2) + y' \cdot 2^{y} = 1$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y' \cdot 2^{y}$ из $y y' \cdot (2^{y} \ln (2)) + y' \cdot 2^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y' \cdot 2^{y}$ из $y y' \cdot (2^{y} \ln (2))$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot 2^{y} = 1$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y' \cdot 2^{y}$ из $y' \cdot 2^{y}$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot (2^{y} (1)) = 1$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y' \cdot 2^{y}$ из $y' \cdot 2^{y} (y \cdot \ln (2)) + y' \cdot 2^{y} \cdot 1$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2) + 1)) = 1$

Этап 5.3

Умножим $y$ на $\ln (2)$ .

$y' \cdot (2^{y} (y (\ln (2)) + 1)) = 1$

Этап 5.4

Умножим $y$ на $\ln (2)$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ на $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ на $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ .

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $2^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель $y \ln (2) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Этап 5.5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$