Математический анализ Примеры

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - \frac{1}{2} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Этап 2.3

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{2}}{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.4

Объединим $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Этап 2.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Этап 2.6.2

Объединим $- 2$ и $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Этап 2.6.3

Объединим $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ и $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Этап 2.6.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

Этап 2.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Этап 2.6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

Этап 2.6.4.2.4

Разделим $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ на $1$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Этап 2.6.5

Изменим порядок множителей в $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$