Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{4} [3 y - (y^{2} - 4)] d y$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 1}^{4} 3 y - (y^{2} - 4) d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{4} 3 y d y + \int_{- 1}^{4} - (y^{2} - 4) d y$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{- 1}^{4} y d y + \int_{- 1}^{4} - (y^{2} - 4) d y$

Этап 4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - (y^{2} - 4) d y$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - (y^{2} - 4) d y$

Этап 6

Умножим $- (y^{2} - 4)$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - y^{2} - - 4 d y$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - y^{2} + 4 d y$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{4} 4 d y$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) - \int_{- 1}^{4} y^{2} d y + \int_{- 1}^{4} 4 d y$

Этап 10

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d y$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d y$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + 4 y]_{- 1}^{4}$

Этап 13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $\frac{y^{2}}{2}$ в $4$ и в $- 1$ .

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + 4 y]_{- 1}^{4}$

Этап 13.2

Найдем значение $\frac{y^{3}}{3}$ в $4$ и в $- 1$ .

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 y]_{- 1}^{4}$

Этап 13.3

Найдем значение $4 y$ в $4$ и в $- 1$ .

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$3 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.2.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$3 (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$3 (8 - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.4

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.5

Объединим $8$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.7.1

Умножим $8$ на $2$ .

$3 \frac{16 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.7.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$3 (\frac{15}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.8

Объединим $3$ и $\frac{15}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 15}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.9

Умножим $3$ на $15$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.10

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.11

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} - - \frac{1}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.14

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{45}{2} - \frac{64 + 1}{3} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.16

Добавим $64$ и $1$ .

$\frac{45}{2} - \frac{65}{3} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.17

Чтобы записать $\frac{45}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.18

Чтобы записать $- \frac{65}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.19

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.19.1

Умножим $\frac{45}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{45 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.19.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{45 \cdot 3}{6} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.19.3

Умножим $\frac{65}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{3 \cdot 2} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.19.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{45 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{45 \cdot 3 - 65 \cdot 2}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.21

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.21.1

Умножим $45$ на $3$ .

$\frac{135 - 65 \cdot 2}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.21.2

Умножим $- 65$ на $2$ .

$\frac{135 - 130}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.21.3

Вычтем $130$ из $135$ .

$\frac{5}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.22

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{5}{6} + 16 - 4 \cdot - 1$

Этап 13.4.23

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{5}{6} + 16 + 4$

Этап 13.4.24

Добавим $16$ и $4$ .

$\frac{5}{6} + 20$

Этап 13.4.25

Чтобы записать $20$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} + 20 \cdot \frac{6}{6}$

Этап 13.4.26

Объединим $20$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} + \frac{20 \cdot 6}{6}$

Этап 13.4.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 + 20 \cdot 6}{6}$

Этап 13.4.28

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.28.1

Умножим $20$ на $6$ .

$\frac{5 + 120}{6}$

Этап 13.4.28.2

Добавим $5$ и $120$ .

$\frac{125}{6}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{125}{6}$

Десятичная форма:

$20.8\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$20 \frac{5}{6}$

Этап 15