Математический анализ Примеры

$\frac{d}{d x} \cdot \frac{6 x}{e^{x}}$

Этап 1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{6 x}{e^{x}}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{x}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{x}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Этап 3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.3

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$6 \frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$6 \frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 5

Объединим $6$ и $\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$ .

$\frac{6 (e^{x} - x e^{x})}{e^{2 x}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 e^{x} + 6 (- x e^{x})}{e^{2 x}}$

Этап 6.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{6 e^{x} - 6 x e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 6.4

Вынесем множитель $6 e^{x}$ из $- 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $6 e^{x}$ из $- 6 e^{x} x$ .

$\frac{6 e^{x} (- x) + 6 e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 6.4.2

Вынесем множитель $6 e^{x}$ из $6 e^{x}$ .

$\frac{6 e^{x} (- x) + 6 e^{x} (1)}{e^{2 x}}$

Этап 6.4.3

Вынесем множитель $6 e^{x}$ из $6 e^{x} (- x) + 6 e^{x} (1)$ .

$\frac{6 e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

Этап 6.5

Сократим общий множитель $e^{x}$ и $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $6 e^{x} (- x + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

Этап 6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6 e^{- x} (- x + 1)}{1}$

Этап 6.5.2.4

Разделим $6 e^{- x} (- x + 1)$ на $1$ .

$6 e^{- x} (- x + 1)$

Этап 6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$6 e^{- x} (- x) + 6 e^{- x} \cdot 1$

Этап 6.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 \cdot - 1 e^{- x} x + 6 e^{- x} \cdot 1$

Этап 6.8

Умножим $6$ на $1$ .

$6 \cdot - 1 e^{- x} x + 6 e^{- x}$

Этап 6.9

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 6 e^{- x} x + 6 e^{- x}$

Этап 6.10

Изменим порядок множителей в $- 6 e^{- x} x + 6 e^{- x}$ .

$- 6 x e^{- x} + 6 e^{- x}$