Математический анализ Примеры

$\ln ({(x)}^{3})$

Этап 1

Запишем $\ln ({(x)}^{3})$ в виде функции.

$f (x) = \ln ({(x)}^{3})$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \ln ({(x)}^{3}) d x$

Этап 4

Перепишем $\ln ({(x)}^{3})$ в виде $3 \ln (x)$ .

$\int 3 \ln (x) d x$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \ln (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$3 (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$3 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$3 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$3 (\ln (x) x - \int d x)$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (\ln (x) x - (x + C))$

Этап 9

Упростим.

$3 (\ln (x) x - x) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \ln ({(x)}^{3})$ .

$F (x) =$ $3 (\ln (x) x - x) + C$