Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 7 \cot^{2} (x) d x$

Этап 1

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (x) d x$

Этап 2

Используя формулы Пифагора, запишем $\cot^{2} (x)$ в виде $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$7 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$7 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x)$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$7 (- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x)$

Этап 5

Поскольку производная $- \cot (x)$ равна $\csc^{2} (x)$ , интеграл $\csc^{2} (x)$ равен $- \cot (x)$ .

$7 (- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ и $- \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ .

$7 (- x - \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Этап 6.2

Найдем значение $- x - \cot (x)$ в $\frac{π}{2}$ и в $\frac{π}{6}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Этап 6.3.2

Точное значение $\cot (\frac{π}{6})$ : $\sqrt{3}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Этап 6.3.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Этап 6.3.4

Добавим $- \frac{π}{2}$ и $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Этап 6.3.5

Чтобы записать $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

Этап 6.3.6

Объединим $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ и $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

Этап 6.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$7 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

Этап 6.3.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$7 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.3.9

Объединим $7$ и $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ .

$\frac{7 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Этап 6.3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- π$ .

$\frac{7 (- (π) - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Этап 6.3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ .

$\frac{7 (- (π) - (2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Этап 6.3.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (π) - (2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{7 (- (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Этап 6.3.13

Перепишем $- (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ в виде $- 1 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{7 (- 1 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Этап 6.3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{7 (π + 2 (- \frac{π}{6}) + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Этап 6.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{6}$ в числитель.

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{6} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Этап 6.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{2 (3)} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Этап 6.4.2.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{2 \cdot 3} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Этап 6.4.2.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{7 (π + \frac{- π}{3} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Этап 6.4.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{7 (π + \frac{- π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7 (π - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.4.5

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.4.6

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{7 (\frac{π \cdot 3 - π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.4.8

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$- \frac{7 (\frac{3 \cdot π - π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.4.9

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$- \frac{7 (\frac{2 π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.4.10

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{7 \frac{2 π}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.4.11

Умножим $7 \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.11.1

Объединим $7$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$- \frac{\frac{7 (2 π)}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.4.11.2

Умножим $2$ на $7$ .

$- \frac{\frac{14 π}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.4.12

Умножим $- 2$ на $7$ .

$- \frac{\frac{14 π}{3} - 14 \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.4.13

Сократим общий множитель $\frac{14 π}{3} - 14 \sqrt{3}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.13.1

Вынесем множитель $2$ из $\frac{14 π}{3}$ .

$- \frac{2 \frac{7 π}{3} - 14 \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.4.13.2

Вынесем множитель $2$ из $- 14 \sqrt{3}$ .

$- \frac{2 \frac{7 π}{3} + 2 (- 7 \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.4.13.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \frac{7 π}{3} + 2 (- 7 \sqrt{3})$ .

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2}$

Этап 6.4.13.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.13.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2 (1)}$

Этап 6.4.13.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.13.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3}}{1}$

Этап 6.4.13.4.4

Разделим $\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3}$ на $1$ .

$- (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})$

Этап 6.4.14

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{7 π}{3} - (- 7 \sqrt{3})$

Этап 6.4.15

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$- \frac{7 π}{3} + 7 \sqrt{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{7 π}{3} + 7 \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$4.79397279 \dots$